所属栏目：机械论文范文发布时间：2026-01-08浏览量:366
柔性薄壁椭圆轴承是谐波减速器的关键部件，其内、外圈的椭圆特性使得定转速下其故障特征频率不是一个定值，而是存在周期性波动，这种特性与普通滚动轴承完全不同。柔性薄壁椭圆轴承的椭圆特性还会引起背景周期性冲击，对故障周期性冲击产生极大的掩盖。利用Morlet小波与故障周期性冲击的波形相似性特性从柔性薄壁椭圆轴承混合冲击信号中提取故障周期性冲击，分析了连续Morlet小波对故障周期性冲击的特征提取机理，从理论上证明了Morlet小波对与其波形相似的故障冲击可以获得最佳的提取效果，而椭圆引起的背景冲击则会被极大抑制。利用Hilbert-Huang变换提取故障冲击的瞬时频率。对于内圈故障和外圈故障的柔性薄壁椭圆轴承，从它们的振动信号中准确提取到了故障频率的波动特性，证明了柔性薄壁椭圆轴承的故障特征频率在定转速下确实存在有规律的周期性波动，且其波动的频率是凸轮轴转频的二倍。对比分析了普通滚动轴承故障特征的瞬时频率，结果表明其不存在周期性波动。故障频率的周期性波动是柔性薄壁椭圆轴承的特有性质。
论文《柔性薄壁椭圆轴承故障特征频率的波动性分析》发表在《机械工程学报》，版权归《机械工程学报》所有。本文来自网络平台，仅供参考。
关键词
柔性薄壁椭圆轴承;故障特征频率;频率波动;瞬时频率
前言
谐波减速器以其体积小、传动精度高、传动比大等优点被广泛应用于工业机器人和航空航天领域中[1-2]。而柔性薄壁椭圆轴承是谐波减速器的关键元件，其振动对谐波减速器有重要影响，会降低谐波减速器传动精度，引起整个传动系统振动加大甚至引发故障[3]，因此对柔性薄壁椭圆轴承的振动进行监测分析具有重要意义。
柔性薄壁椭圆轴承是一种新型的轴承，在谐波减速器中，此轴承安装在椭圆凸轮轴上，内外圈被凸轮轴胀成椭圆[4-5]，成为椭圆轴承，其振动特性与普通滚动轴承完全不同[6]。目前对这种轴承的振动和故障特征分析方面的研究较少，国外有少数研究者利用有限元方法分析了这种轴承的一些动力学特性。如WEINZAPFEL等[7]利用离散单元法建立了柔性轴承的有限元模型，研究了柔性保持架对轴承动力学性能的影响。ADAMS等[8]建立了谐波传动过程中柔性薄壁椭圆轴承的有限元振动分析模型，其模拟分析结果表明该种轴承的振动主要是由椭圆的旋转引起。不过，这些研究[7-8]仅限于有限元模拟分析而已，并没有进行柔性薄壁椭圆轴承的实际振动检测试验。在柔性薄壁椭圆轴承的实际振动试验和信号分析方面，赵学智等[9-10]做了一定的工作，他们通过试验发现健康的柔性薄壁椭圆轴承存在类似于普通滚动轴承损伤时才会发生的周期性冲击，并分别提出了一种奇异值分解算法[9]和改进的谐波小波包算法[10]来分离这种周期性冲击。赵学智等[11]还进一步推导得到了柔性薄壁椭圆轴承元件损伤时的故障特征频率计算公式，发现柔性薄壁椭圆轴承的故障特征频率存在一种不同寻常的特性，即柔性薄壁椭圆轴承的故障特征频率并非一个定值，而是存在周期性波动[11]，这和普通滚动轴承完全不同。故障特征频率的波动性是柔性薄壁椭圆轴承一种非常独特的性质，它表明了柔性薄壁椭圆轴承不同于普通滚动轴承的一个显著特点，但这是一个理论分析的结果，目前还并未有研究者从振动信号中揭示这一特性。
本文针对定转速下柔性薄壁椭圆轴承故障频率的波动性提取展开研究，从振动信号中提取到了故障频率的周期性波动特性。提取柔性薄壁椭圆轴承故障冲击频率时还要注意其另一个不同于普通轴承的特性，即柔性薄壁椭圆轴承还会受到椭圆长、短轴的周期性冲击，这种周期性冲击和轴承元件故障产生的故障周期性冲击混合在一起，形成一种复杂的混合冲击，极大地掩藏了故障周期性冲击[12]。针对这种复合冲击，我们提出利用Morlet小波的波形相似性提取特性来从复合冲击中提取故障冲击。Morlet小波的波形相似性提取特性是指波形和Morlet小波相似的冲击信号可以在Morlet小波基上获得较大的投影，而波形与Morlet小波相差较大的冲击信号则会被抑制。Morlet小波的波形相似性提取特性虽然有文献提到过[13-14]，但是实际上这一特性并未有理论上的系统分析和证明。有些研究[15-16]通过优化Morlet小波参数实现对故障特征提取，而优化Morlet小波参数实际上就是改变Morlet小波的波形。本文对Morlet小波的波形相似性提取特性从理论上给予了系统分析，证明了在尺度连续变化下，与某一尺度Morlet小波波形相似的故障周期性冲击会在此尺度的小波基上获得最大投影，而与该尺度Morlet小波波形相差较大的冲击信号的幅值会被按指数规律极大抑制。
Morlet小波的波形是一个调制的冲击[17]，柔性薄壁椭圆轴承故障周期性冲击也是调制的，可以找到一个尺度使得该尺度的Morlet小波波形与故障周期性冲击最相似。而柔性薄壁椭圆轴承的长、短轴产生的周期性冲击是没有调制的，它的波形和Morlet小波的波形相差较大，因此利用Morlet小波的波形相似性提取特性可以从柔性薄壁椭圆轴承的混合周期性冲击中准确提取到故障周期性冲击。在此基础上，利用Hilbert-Huang变换对柔性薄壁椭圆轴承故障周期性冲击的瞬时频率进行分析，提取到了柔性薄壁椭圆轴承的故障特征频率的周期性波动，证明了其波动的频率是椭圆凸轮轴转频的二倍。作为对比，也提取分析了普通滚动轴承故障冲击的瞬时频率，结果表明其故障特征频率不存在有规律的周期性波动，故障特征频率的波动性是柔性薄壁椭圆轴承的特有性质。
1 柔性椭圆轴承故障频率的波动特性
未安装到椭圆凸轮轴上时，柔性薄壁轴承是圆形轴承，装到椭圆凸轮轴上之后，轴承内、外圈发生径向变形，被凸轮轴胀成椭圆。设未变形前内圈圆形滚道的半径为(r_i)，装到椭圆凸轮轴上后，轴承发生径向变形，设径向变形量为(w_0)，则内圈椭圆滚道的长轴半径(a)、短轴半径(b)分别为[18]：
柔性薄壁轴承变成椭圆轴承后，一个显著特点是在其旋转过程中内、外圈的滚道半径是动态变化的，这与普通滚动轴承完全不同。椭圆轴承的旋转过程如图1所示，其中(O_1)是内圈椭圆滚道中心，内圈椭圆滚道与(y)轴的交点用(E)表示，外圈椭圆滚道与(y)轴的交点用(F)表示。设内圈以转速(omega_i)顺时针旋转，内圈椭圆滚道的长轴与(y)轴的夹角为(eta)，(eta =
式中，(a)、(b)分别是内圈椭圆滚道的长、短轴半径，(omega_i)为内圈旋转角速度。可见内圈滚道半径( ho)在轴承旋转过程中是动态变化的，由于滚动体的约束作用以及轴承的柔性薄壁特性，即使外圈不动，内、外圈在旋转过程中也始终保持为两个相似椭圆，如图1所示。
由于柔性薄壁椭圆轴承旋转时滚道半径的不断变化，即使转速恒定，滚动体中心的切向速度也是变化的，这使得滚动体沿内圈滚道周转一圈时通过滚道损伤点的时间间隔不是一个定值，而是周期变化的，即故障频率是周期变化的。可以推导出柔性薄壁椭圆轴承的外、内圈故障特征频率公式为：
式中，(f_{bfo})为柔性薄壁椭圆轴承外圈故障特征频率，(f_{bfi})为内圈故障特征频率;(a)、(b)分别是内圈椭圆滚道的长、短轴半径，(f_i)为内圈旋转频率，(z)为滚动体个数，(r_g)为滚动体的半径，(alpha)是轴承接触角，(omega_i)是内圈旋转角速度。由式(3)、(4)可见，柔性薄壁椭圆轴承的故障特征频率不再是一个定值，而是存在周期变化。
以型号为SHF-32-120的柔性薄壁椭圆轴承为例，该轴承参数见表1。利用表中参数，根据式(3)、(4)计算其外圈和内圈故障特征频率，轴承转速分别为610 r/min和500 r/min，得到结果如图2所示。可见柔性薄壁椭圆轴承故障特征频率不是一个固定值，而是呈现类似正弦规律的波动，这与普通滚动轴承故障特征频率完全不同，普通滚动轴承的故障特征频率在定转速下是一个定值。
表1 型号为SHF-32-120的柔性薄壁椭圆轴承的参数
| 参数 | 数值 |
| 变形前内圈滚道半径(r_i)(mm) | 31.128 |
| 滚动体半径(r_g)(mm) | 3.572 |
| 变形前节圆半径(r_p)(mm) | 34.7 |
| 径向变形量(w_0)(mm) | 0.525 |
| 变形后内圈滚道长轴半径(a)(mm) | 31.653 |
| 变形后内圈滚道短轴半径(b)(mm) | 30.603 |
| 滚动体数量(z) | 23 |
| 接触角(alpha)(°) | 0 |
从图2可见，转角(eta)转过(2pi)(即内圈旋转一周)，无论是内圈故障频率还是外圈故障频率都周期性波动两次。对于柔性薄壁椭圆轴承故障频率的这种理论波动性分析结果，文献[11]曾通过频谱中故障频率的倍频之间的频率间隔变化来说明这种波动性，但是这种方法并不能有充分的说服力。只有从振动信号中提取到故障频率随时间的变化关系，并且这种变化是有规律的周期性波动，而不是一种随机的波动，才能说明这种轴承的故障特征频率确实存在周期性波动。
2 Morlet小波的波形相似性特性提取机理分析
为了分析柔性薄壁椭圆轴承的故障特征频率的波动性，首先必须准确地提取到故障周期性冲击。如前所述，柔性薄壁椭圆轴承存在椭圆长、短轴引起的周期性冲击，它和故障周期性冲击混合在一起，形成一种复杂的混合周期性冲击。从两种混合的周期性冲击中提取其中的一种周期性冲击并非易事，需要采取合适的方法。Morlet小波的波形与柔性薄壁椭圆轴承故障冲击的波形相似，它们都是调制的冲击，而椭圆长、短轴引起的周期性冲击不是调制的冲击，与Morlet小波的波形相差较大。虽然有文献提到过Morlet小波的波形相似性提取特性[13-14]，但是其提取机理并未有理论上的证明。本文对此问题从理论上进行了系统分析，证明采用连续Morlet小波对柔性薄壁椭圆轴承振动信号进行分解，在尺度连续变化下，可以使调制的故障冲击在某一个尺度的小波基上获得最大投影，而椭圆长短轴冲击则在此尺度被按照指数规律极大抑制，这一特征提取过程的机理分析如下。
Morlet小波是一个调制的高斯函数，表达式为：
式中，(lambda)为小波窗宽系数，(f_c)是调制频率。在尺度(s)下Morlet小波的伸缩函数为：
信号(x(t))的连续Morlet小波变换(W_x(s, t))就是(x(t))与连续尺度(s)下伸缩函数(psi_s(t))的卷积，即：
尺度(s)下小波函数(psi_s(t))的傅里叶变换为：
则(x(t))的连续Morlet小波变换在频域可以表示为[19]：
式中，(hat{x}(f))是原信号(x(t))的傅里叶变换。
对于只含有一个频率的正弦信号(x(t) = a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))，根据式(8)和(9)，可以得到(x(t))的Morlet小波变换结果为：
可见含一个频率的正弦信号的Morlet小波变换结果就相当于原信号在尺度(s)上的投影，投影的频率不变，但幅值被放大或缩小了。而对于含有多个频率的信号在连续尺度下Morlet小波基上的投影情况，不失一般性，设信号(x(t))含有(n)个频率分量：
式中，(a_0)为信号的直流分量，(a_j)、(f_j)、(varphi_j)分别为第(j)个频率分量的幅值、频率和相位。根据式(10)的结果，容易得到这含(n)个频率分量的(x(t))在第(k)个尺度(s_k)下的Morlet小波变换结果为：
式中，等号右边的第一项是直流分量的小波变换结果，第二项是各个频率经Morlet小波变换的结果。可见，信号(x(t))的不同频率在第(k)个尺度(s_k)上的Morlet变换结果实际上反映了各个频率投射在这个尺度上的投影大小，其中频率分量(a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))的投影大小是：
据此可以定义投影系数(eta)如下：
则频率分量(a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))在尺度(s_k)下的Morlet小波变换结果可表示为(eta cdot a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))。可见原信号(x(t))中的频率分量(a_j sin(2pi f_j t +
此时投影系数(eta)取得最大值(frac{sqrt{2pi}}{lambda})，原信号中的频率分量(a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))在尺度(s_k)上产生最大的投影：
从式(14)可得原信号中在Morlet小波基上获得最大投影的频率分量为(f_j = f_c / s_k)，而又从式(6)可见，在尺度(s)下，Morlet小波伸缩函数(psi_s(t))实际是受频率分量(exp(j 2pi f_c t / s))调制的，此尺度下的调制频率就是(f_c / s)。这就是说，当原信号中的频率分量(a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))的频率值(f_j)等于Morlet小波在某一尺度(s_k)上的调制频率(f_c / s_k)时，即(f_j = f_c / s_k)，则此频率分量(a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))在尺度(s_k)上获得最大的投影。
从式(13)易见，频率值(f_j)越接近尺度(s_k)上的调制频率(f_c / s_k)，投影系数(eta)越大，则频率分量(a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))在尺度(s_k)上的投影越大。而对于原信号中那些频率值与(f_c / s_k)相差较大的其他频率分量，它们的幅值在尺度(s_k)上会被按指数规律极大抑制，因而Morlet小波变换结果就突出了原信号中与尺度(s_k)上的调制频率(f_c / s_k)接近的那些频率分量。
柔性薄壁椭圆轴承的故障冲击信号是调制的，一个调制冲击可以表示为：
式中，(f_n)是调制频率，它实际上是轴承的固有频率，(xi)是冲击衰减系数。在这个调制冲击中，冲击(exp(-xi t))实际反映了正弦信号(sin(2pi f_n t))的幅值，因此根据式(10)可得到这个调制冲击的Morlet小波变换结果为：
可见，调制冲击经Morlet小波变换后得到的结果同样反映了原调制冲击在尺度(s_k)上的投影大小，该投影的调制频率不变，和原冲击信号一致，但是幅值即冲击(exp(-xi t))的大小发生了变化，变化大小由下面的投影系数决定：
从式(18)可见，若是故障冲击的调制频率(f_n)和尺度(s_k)下Morlet小波基的调制频率(f_c / s_k)越接近，投影系数就越大，则原调制冲击的幅值(exp(-xi t))在此尺度(s_k)上就会获得越大的投影。而椭圆长短轴引起的冲击不是调制的，没有故障冲击那样反复振荡的特性，和这个尺度(s_k)上Morlet小波的波形相似度低，频率相差大，其幅值在尺度(s_k)上会被按指数规律极大抑制，这就是Morlet小波的波形相似性提取特性的机理。利用这一特点，可以利用Morlet小波将柔性薄壁椭圆轴承的故障周期性冲击和长短轴周期性冲击分离开。
从式(18)易知，柔性薄壁椭圆轴承的故障冲击最大投影所在的小波尺度为：
式中，(f_c)是Morlet基小波(尺度(s=1))的调制频率，而(f_n)是轴承故障冲击的调制频率。这个调制频率是轴承的共振频率，一般是未知的，因此通过这种方式确定故障冲击所在尺度比较困难，但是可以通过分析各个尺度的峭度来解决这一问题。峭度是反映随机变量分布特性的数值统计量，最初由DWYER提出[20]，定量描述了变量的非高斯性。峭度对信号中的调制冲击比较敏感[21]，较大的峭度意味着信号中较多的调制冲击成分，因此可以用来确定故障冲击所在的尺度。对于一个数字信号(y(n))，(n=0,1,2,…,N-1)，其峭度按下式计算：
式中，(ar{y})是(y(n))的均值，(N)是数据的长度。对柔性薄壁椭圆轴承振动信号的连续Morlet小波变换结果，可以利用式(20)计算其各个尺度上小波分解结果的峭度，其中峭度最大的尺度就是柔性薄壁椭圆轴承故障周期性冲击产生最大投影所在的尺度。
提取到故障周期性冲击后，为了分析柔性薄壁椭圆轴承故障冲击频率的波动特性，必须提取故障周期性冲击特征的瞬时频率，这可利用Hilbert-Huang变换来实现，具体步骤如下：
1. 采用经验模态分解(Empirical mode decomposition, EMD)将Morlet小波提取到的故障冲击信号(W_x(s_k, t))分解为若干个本征模态函数(Intrinsic mode function, IMF)和1个残余分量：
式中，(c_i(t))为分解得到的IMF分量，(r_n(t))为残差分量。EMD分解是一个成熟的算法，其原理可参看相关文献[22-23]，这里不再赘述。
2. 对每个IMF分量(c_i(t))进行Hilbert变换，得到变换结果(h_i(t))：
对故障冲击信号的每个IMF分量都进行Hilbert变换，得到其瞬时频率和瞬时幅值，从而得到故障冲击信号在整个时频平面的Hilbert时频谱，进而从时频谱中确定故障特征的瞬时频率，由此可以分析柔性薄壁椭圆轴承故障特征频率的波动特性。
总结起来，对柔性薄壁椭圆轴承故障冲击瞬时频率提取的流程框图如图3所示。
3 故障特征频率的波动性提取
柔性薄壁椭圆轴承是一种特殊的轴承，其振动检测不能在普通的轴承振动试验台进行，需要专门的试验台。针对柔性薄壁椭圆轴承的特点，作者实验室设计了柔性薄壁椭圆轴承振动检测专用试验台，如图4所示，其中轴承内圈装在椭圆凸轮轴上，由电主轴驱动，转速可精确控制。该试验台已经获得了美国PCT专利[24]。图5为试验所用柔性薄壁椭圆轴承实物，其型号为SHF-32-120，其主要参数见表1。采用电火花加工将轴承外圈滚道和内圈滚道分别加工出深度和宽度均为1 mm的裂纹，如图5红色圈内所标示。在对柔性薄壁椭圆轴承进行振动检测时，通过试验台左、右两侧的径向力加载装置对被检轴承施加200 N的径向压力。采用352A73微型PCB加速度传感器检测轴承的振动，加速度计的灵敏度为0.51 mV/(m·s⁻²)，测量频率范围为1.5~25 000 Hz。利用LMS数据采集系统对加速度计检测的振动信号进行采集，采样频率为25 600 Hz。
3.1 外圈故障频率的波动性提取
检测外圈故障轴承的振动时，椭圆凸轮轴的转频为(f_i=17.375 Hz)，结合表1中的轴承参数，利用式(3)计算外圈故障特征频率，结果如图6所示。可见此特征频率不是一个固定值，而是呈现正弦规律的波动，这和普通滚动轴承完全不同。从图6a可见，波动频率的最大值是179.550 5 Hz，最小值是178.927 9 Hz，平均值是179.24 Hz。图6b的频谱显示，理论故障特征频率波动的频率为34.75 Hz，这正好是转频17.375 Hz的二倍。
外圈损伤的柔性薄壁椭圆轴承的实测振动加速度信号见图7，可见时域信号中存在明显的周期性冲击，但是这种冲击并不是由外圈的损伤引起的，其频域分析结果显示这种冲击的频率主要以二倍转频34.75 Hz为基频并含有此基频的一系列倍频，这种频率特征是柔性薄壁椭圆轴承的椭圆长、短轴旋转产生的周期性冲击的典型特征[9]。故障周期性冲击完全被椭圆引起的周期性冲击掩盖了。
对外圈故障信号进行连续Morlet小波变换，其中Morlet小波的小波窗宽系数(lambda=1)，中心频率参数(f_c=0.5)，尺度范围为1~100，在此范围内均分为1 024个尺度。这里解释一下中心频率参数取(f_c=0.5)的原因。因为实际处理的是数字信号，采用的是离散化的Morlet小波，其表达式是：
式中，(f_s)是待处理信号的采样频率。因(f_c=0.5)，当尺度(s=1)时，Morlet小波的中心频率是(f_s / 2)，这正好是待处理信号的最高频率，以后随着尺度(s)的增加，中心频率由最高频率向低频方向移动，形成对整个频率轴的覆盖。顺便指出，很多人在设置Morlet小波的中心频率时把(f_c)当作真实频率来设置其数值，但实际上这并不能得到所想要的中心频率。例如设置(f_c=1 000 Hz)，但实际上这并不会得到中心频率为1 000 Hz的Morlet小波，得到的将会是折叠到另一个中心频率的Morlet小波，关于这一问题将另文专门分析。对于窗宽系数(lambda)，由于Morlet小波是调制的高斯函数，而一般都是取标准的高斯函数，因此窗宽系数(lambda=1)。
计算图7中原始信号的Morlet小波变换结果各个尺度的峭度值，结果如图8所示。可见对于外圈故障信号，当小波尺度为1.104时对应的峭度值最大，这说明故障冲击在此尺度产生的投影最大，该尺度的小波分解结果见图9，可见时域信号中是非常明显的周期性冲击。与图7a对比可见，这种冲击与图7a中原始信号中的冲击有显著差别，其包络谱分析结果显示其主要频率成分为179.29 Hz及其一系列高次倍频，整个频谱比较干净，其基频179.29 Hz非常接近理论计算的外圈故障冲击特征频率的均值179.24 Hz，说明提取到的就是故障周期性冲击。
采用第2节论述的方法提取故障冲击的瞬时频率，结果如图10所示。从图10a可见，故障冲击的瞬时频率在故障频率179.29 Hz上下波动，说明柔性薄壁椭圆轴承故障特征频率确实存在波动(由于信号中存在噪声，而噪声有较大的突变，这使得在利用微分计算瞬时频率时会出现较大幅值(图10a))。该瞬时频率的频谱如图10b所示，可见频谱中的谱线分布比较广泛，这说明瞬时频率中存在较多噪声，但是除了噪声频率外，可以看到频谱中还存在两个非常突出的频率成分，分别为转频的二倍频34.75 Hz及其倍频。因此除了噪声引起的波动之外，这个瞬时频率还存在有规律的周期性波动，波动频率为转频的二倍频34.75 Hz及其倍频，而图6中理论分析结果表明故障频率波动的基频就是34.75 Hz，二者是一致的。因此，故障瞬时频率的这种频谱特征证实了理论分析的两个结果：① 柔性薄壁椭圆轴承外圈故障特征频率确实存在周期性波动;② 外圈故障特征频率波动的基频为转频的二倍。注意到故障冲击的实际瞬时频率中还存在基频34.75 Hz的二倍频。二倍频出现的原因比较复杂，由于柔性薄壁椭圆轴承的振动是一种复杂的非线性振动，内外圈之间的装配松动、滚动体与滚道之间润滑油脂的非线性刚度、滚道磨损等原因都会导致这个二倍频的出现。
作为对比，不妨来分析普通滚动轴承的外圈故障瞬时频率，看其是否存在波动。以美国西储大学的轴承数据为例进行分析，轴承型号为SKF6205-2RS的深沟球轴承，内圈滚道半径为25 mm，外圈滚道半径为52 mm，节径为39.04 mm，滚动体直径为7.94 mm，滚动体数目为9，接触角为0°。轴承外圈存在宽度为0.538 mm、深度为0.28 mm的单点故障。振动检测时轴承转速为1 797 r/min，即转频为29.95 Hz，采样频率为12 000 Hz，检测到的振动信号如图11a所示。采用本文的Morlet小波提取到的故障冲击特征如图11b所示，其包络谱显示提取到的冲击特征的主要频率成分为107.3 Hz及其倍频(图11c)，这与理论计算的外圈故障冲击特征频率107.36 Hz相符。故障冲击的瞬时频率如图11d所示，可见瞬时频率也存在一些波动，但这并不是一种有规律的周期性波动，而是由噪声引起的波动。因为这个瞬时频率的频谱分析结果表明(图11e)，该瞬时频率的谱线分布在整个频带上，频谱中没有十分突出的频率，这是噪声的典型频谱特征(由于Morlet小波的滤波作用，使得频谱在低频范围内幅值较大，因此这实际上这是一种有色噪声)。这说明普通滚动轴承故障冲击瞬时频率的波动是随机噪声引起的，并非有规律的周期性波动，其频谱中完全没有柔性薄壁椭圆轴承故障瞬时频率频谱中那种突出的二倍转频及其倍频的特征。柔性薄壁椭圆轴承故障瞬时频率的波动中虽然也有噪声引起的波动，但是转频的二倍频34.75 Hz及其倍频引起的波动比噪声引起的波动明显得多，因此是一种有规律的周期性波动。
3.2 与Mexican Hat小波的提取效果比较
小波的种类很多，除Morlet小波外，还有多种小波如Mexican Hat小波、Meyer小波、Daubechies小波等。从根本上来说，任何小波都具有振荡衰减的波形，其和轴承的故障冲击都有一定的相似性，但是相似程度不尽相同，因此对故障冲击的提取效果也有一定差异。这里以Mexican Hat小波为例来进行对比分析，Mexican Hat小波也是一种常用小波，在信号处理和故障特征提取中有很重要的应用。Mexican Hat小波的表达式为：
可见与尺度(s)下Morlet小波的傅里叶变换(式(8))相比，Mexican Hat小波的频率窗没有中心频率项(2pi f_c)，这使得它的频窗中心频率无法像Morlet小波那样可以通过频率参数(f_c)进行调整，表现在时域上，就是Mexican Hat小波的振荡波形不能像Morlet小波那样通过调制频率参数(f_c)进行调整。
对于图7所示柔性薄壁椭圆轴承外圈故障信号，利用Mexican Hat小波提取到的故障冲击及其瞬时频率如图12所示。易见图12b的包络谱比Morlet小波提取的包络谱(图9b)含有更多的杂频，如图12b中红色圈内所示，这说明Mexican Hat小波提取到的故障冲击有更多的干扰成分，而Morlet小波提取的故障冲击更为纯净。对于故障冲击的瞬时频率，从Mexican Hat小波得到的故障冲击中虽然也提取到了波动频率34.75 Hz，但是还含有一些其他较大的干扰频率，如图12d中红色圈内所标示。另外，从瞬时频率的波形来看，其在刚开始时有较大的高频波动，这在图13中的瞬时频率波形对比可以更明显地看出来，如图13中红色圈内所示，这种高频波动显然是干扰频率引起的。
可以从波形相似性特征提取的角度来分析这两种小波对故障冲击的这种提取差异。从式(6)可见，Morlet小波存在调制因子(exp(j 2pi f_c t / s))，小波的振荡波形可以通过频率参数(f_c)调整，而且不同尺度下的调制频率(f_c / s)还不相同，这使得不同尺度的Morlet小波振荡波形还不一样，通过(f_c / s)的变化可以使Morlet小波波形获得对故障冲击的适应性。在尺度连续变化的小波中，总是可以找到一个与柔性薄壁轴承轴承故障冲击相似度最高的小波，获得对故障冲击的最大投影。
而对Mexican Hat小波，从式(28)可见，它没有波形调制因子，尺度参数(s)只是改变小波的支撑宽度，并不改变小波的振荡波形。因此各个尺度的Mexican Hat小波波形是一样的，这使得它对故障冲击波形缺乏适应性调整，因此故障冲击提取效果相对较差。从式(29)的傅里叶变换结果可见，对于一个具体的频率(x(t)=a_j sin(2pi f_j t + varphi_j))，经过Mexican Hat小波变换后，其幅值是增大还是抑制取决于下面的投影系数：
3.3 内圈故障频率的波动性提取
检测内圈损伤的柔性薄壁椭圆轴承的振动时，椭圆凸轮轴的转频为(f_i=14.875 Hz)，结合表1的轴承参数，利用式(4)计算内圈故障特征频率，结果如图14。从图14可见此特征频率也呈正弦规律波动，最大值是188.942 1 Hz，最小值是188.409 1 Hz，平均值是188.675 6 Hz。从波动的频谱可见(图14b)，内圈故障特征频率的波动频率为29.75 Hz，也正好是转频14.875 Hz的二倍。
内圈故障柔性薄壁椭圆轴承的实测振动加速度信号及其频谱见图15，可见时域信号是明显的周期性冲击信号。频域分析结果显示这种冲击的频率是以二倍转频29.75 Hz为基频，并含有此基频的一系列倍频(图15b)，与外圈类似，这是柔性薄壁椭圆轴承的椭圆长、短轴产生的正常周期性冲击特征。其包络谱显示(图15c)，除了正常冲击的频率29.75 Hz外，包络谱中也含有故障冲击频率188.5 Hz，这说明内圈损伤柔性薄壁椭圆轴承的故障周期性冲击并没有完全被椭圆长短轴的正常周期性冲击所掩盖，但是正常周期性冲击干扰仍然是一种很大的干扰，需要进一步提取故障周期性冲击。
对此内圈故障信号计算Morlet小波变换各个尺度的峭度值，结果如图16所示，可见当尺度为1.836时的峭度值最大，该尺度下Morlet小波提取到的故障冲击特征及频域结果如图17所示。从时域波形可见(图17a)，提取到的冲击和原信号中的冲击有明显区别，而频域结果显示提取到的冲击特征的基频是188.5 Hz，并存在一系列高次倍频(图17b)，其中基频188.5 Hz非常接近理论计算的内圈故障冲击特征频率的均值188.675 6 Hz，因此提取到的就是故障周期性冲击。
对所提取到的故障周期性冲击进一步利用Hilbert-Huang变换提取其瞬时频率，结果如图18所示。从图18a可以看出故障冲击的瞬时频率在故障平均频率188.5 Hz上下波动，从瞬时频率的频谱可见(图18b)，瞬时频率波动的主要频率就是转频的两倍即29.75 Hz及此频率的倍频，虽然图18b中还存在一定的噪声频率，这说明瞬时频率的波动有一部分是由噪声引起的，但是波动的主要频率成分是29.75 Hz及其倍频，它们的幅值远大于噪声频率的幅值，因此这是一种有规律的周期性波动，其基频29.75 Hz与图14中故障特征频率的理论波动频率完全一致。这种结果证明柔性薄壁椭圆轴承内圈故障特征频率确实存在周期性波动，且波动频率为转频的二倍。
同样来对比普通滚动轴承的内圈故障冲击的瞬时频率，数据为美国西储大学SKF6205-2RS深沟球轴承的故障数据。轴承内圈存在宽度为0.178 8 mm、深度为0.279 4 mm的单点故障，采样频率为12 000 Hz，采样点数为24 576点，轴承转速为1 797 r/min，即转频为29.95 Hz，轴承的原始振动信号如图19a所示。采用本文方法提取到的故障周期性冲击如图19b所示，从图19c的频谱图可见，提取到的冲击特征的主要频率成分为161.7 Hz及其倍频(理论计算的内圈故障冲击特征频率是162.19 Hz)。图19d是故障冲击的瞬时频率，可见这种瞬时频率中也存在一定的波动，但是其频谱分析结果表明(图19e)，这种波动的频率均匀地分布在整个频带上，没有十分突出的谱线，这是噪声的典型频谱特征(由于Morlet小波的带通滤波作用，使得低频段谱线的幅值较大，因此实际上这是一种有色噪声)，整个频谱中不存在柔性薄壁椭圆轴承故障冲击瞬时频率中那种突出的二倍转频及其倍频(图18b)，因此这种瞬时频率的波动是由随机噪声引起的，不是一种有规律的周期性波动。
4 结论
柔性薄壁椭圆轴承的内外圈是椭圆，这使得它的故障冲击特征频率表现出完全不同于普通滚动轴承的特性，本文对此问题进行研究，得到如下结论：
1. 柔性薄壁椭圆轴承的故障周期性冲击被椭圆长、短轴引起的背景周期性冲击所掩盖，利用Morlet小波与故障周期性冲击的波形相似性，可以从柔性薄壁椭圆轴承的混合周期性冲击中准确提取故障周期性冲击。
2. 从理论上解释了Morlet小波的波形相似性特性提取机理，证明了与某一尺度Morlet小波波形最相似的柔性薄壁椭圆轴承故障冲击将在该尺度Morlet小波基上获得最大的投影，而椭圆长、短轴产生的正常周期性冲击则在该尺度会被按指数规律极大抑制。
3. 从柔性薄壁椭圆轴承的振动信号中提取到了故障频率的周期性波动特性。对内、外圈损伤的柔性薄壁椭圆轴承故障周期性冲击的瞬时频率分析结果表明，在定转速下柔性薄壁椭圆轴承故障特征频率存在有规律的周期性波动，波动的频率是转频的两倍。而普通滚动轴承的故障瞬时频率只有噪声造成的波动，没有柔性薄壁椭圆轴承故障瞬时频率那种有规律的周期性波动。
4. 将来进一步的研究工作是低信噪比条件下柔性薄壁椭圆轴承故障冲击瞬时频率的提取，可以通过采用奇异值分解算法对Morlet小波通带内的有色噪声进行消除，以获得高信噪比的故障周期性冲击及其瞬时频率分析结果。
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